뜬금없이 이런 카테고리의 글을 올리게 된 이유는, 제가 지금 고3학생을 과외하고 있는 탓이 큽니다. 아마도 여유가 생기는대로 21번, 29번, 30번 풀이도 올릴 수 있을 것 같습니다.
이번 9월 모의고사가 여러모로 신기한 부분이 많았는데, 21번이 미적이 아니었던 것도 그렇고, 30번도 뭔가 새로운 유형이었던 게 신선했습니다.
그리고 15번 언저리에 이정도 난이도의 문제가 나온 것도 조금 신선했네요... 개인적으로 19번 정도는 가도 되지 않았나 싶습니다.
언뜻 보기에는 대충 좌표 잘 잡아서 풀면 될 것 같아 보이지만, 사실 그냥 그렇게 풀기에는 조금 힘든 문제였습니다.
이 문제에서 핵심은 $$y=e^x$$ 그래프를 시계 방향으로 90도 회전시키면 y=-lnx 그래프가 나온다는 점이라고 할 수 있습니다. 원래 y=x에 대칭시키면 y=lnx가 나오는데, 거기서 다시 x축 대칭을 시켜서 y=-lnx가 되었으니 90도 회전이랑 결국 같다는 걸 알 수 있죠.
거기까지 생각한다면, "잠깐 그럼 회전시키기 전에 A를 대충 아무데나 잡고, 그걸 회전시켜서 나온 점을 B라고 하면 (나)조건은 뚝딱 아닌가?!"할 수 있겠지만, 당연히 그러지 말라고 (가) 조건이 있는 거겠죠.
A점을 잡고, 그걸 회전시켜서 나온 점을 A'이라고 하면 각 AOA'은 자명하게 90도가 나옵니다. 그러나 여기서 문제는 OA의 길이와 OA'의 길이가 같아진다는 점이겠죠?
그렇다면 OA'을 간단하게 두배 연장시키면 되겠네! 하고 생각할 수 있지만 그게 또 그 그래프 위에 올라가야 되니까...쉬운 문제는 아닙니다.
그래도 여기까지 관찰을 했다면 문제는 거의 푼 것이나 다름 없습니다. OA를 두배 연장해서(OA'이나 OA나 결국 같은 그래프랑 점 돌린거니까)그 그래프 위에 올라가는지만 확인하면 됩니다.
적당히 A를 (a, e^a)라고 좌표를 잡고, (2a, 2e^a)가 y=e^x 위에 있는지를 보면 될 것 같네요.
그러면 e^(2a)=2e^a, a=ln2가 나오게 됩니다.
따라서 OA의 기울기는 2/ln2
전체적으로 그래프를 회전시키면 같아지고, 그래서 두배 연장시킬 생각까지 했다면 그래도 무난히 풀 수 있는 문제지만, 15번 치고는 역시 어렵지 않았나 싶은 문제였습니다.
p.s. 티스토리 수식입력이 많이 불편하네요 ㅠ